คณิตศาสตร์

1.บอกได้ว่าความสัมพันธ์ที่กำหนดให้เป็นฟังก์ชันหรือไม่

2. บอกได้ว่ากราฟที่กำหนดให้ เป็นกราฟของฟังก์ชันหรือไม่

3. บอกโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันที่กำหนดให้ได้

4. หาค่าฟังก์ชันที่ x ที่กำหนดให้

5. บอกความหมายของคำว่า "ฟังก์ชันจาก A ไป B " "ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B" และ

"ฟังก์ชัน 1-1"

6. บอกได้ว่าความสัมพันธ์ที่กำหนดให้เป็นฟังก์ชัน 1-1 หรือไม่

7. บอกได้ว่ากราฟที่กำหนดให้เป็นกราฟของฟังก์ชัน 1-1 หรือไม่

8. บอกความหมายของฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด

9. บอกได้ว่าฟังก์ชันที่กำหนดให้ฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันลด

ความหมายของฟังก์ชัน จากความรู้เรื่องความสัมพันธ์ที่เรียนมาแล้ว พิจารณาความสัมพันธ์ต่อไปนี้ 1. กำหนดให้ r1 = { (0,1), (1,2), (2,3), (1,1), (0,4) } r2 = { (0,3), (1,1), (2,1), (3,4) } ถ้าต้องการแสดงว่าสมาชิกใดของโดเมนมีความสัมพันธ์กับสมาชิกใดของเรนจ์อาจจะใช้วิธี เขียนลูกศรโยงเรียกว่าการจับคู่ เช่นจากความสัมพันธ์ r1 และ r2เขียนแผนภาพแสดงการจับคู่ได ้ดังนี้ การจับคู่ระหว่างสมาชิกในโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r1 และ r2 มีข้อแตกต่างกันคือ    ใน r1 มีคู่อันดับที่สมาชิกตัวหน้าเหมือนกัน แต่สมาชิกตัวหลังต่างกัน คือ (0,1) กับ (0,4) และ (1,1) กับ (1,2) ส่วนใน r2 สมาชิกตัวหน้าของแต่ละคู่อันดับไม่เหมือนกันเลย นั่นคือแต่ละสมาชิก ในโดเมนของ r2 จะจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์ของ r2 เพียงตัวเดียวเท่านั้น ความสัมพันธ์ที่มีลักษณะดังใน (1), (2) และความสัมพันธ์ r2 ใน (3) เรียกว่า ฟังก์ชัน จากบทนิยามกล่าวได้ว่า ฟังก์ชัน f คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งถ้ามี (x,y) f และ (x,z)  f แล้ว y = z ความสัมพันธ์ที่เขียนแบบแจกแจงสมาชิกนั้น ถ้าสมาชิกตัวหน้าของแต่ละคู่อันดับไม่เหมือน กันเลย สรุปได้ว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชัน การพิจารณาว่าความสัมพันธ์ r ซึ่งเขียนแบบบอกเงื่อนไข เป็นฟังก์ชันหรือไม่อาจใช้วิธีการดังนี้ ตัวอย่างที่ 1 จงแสดงว่า f = { (x,y) | y = x2 + 1} เป็นฟังก์ชัน ตัวอย่างที่ 2 จงแสดงว่า f= {(x,y) | y = x2+1 } เป็นฟังก์ชัน ตัวอย่างที่ 3 จงพิจารณาว่า g = { (x,y) | y2 = x } เป็นฟังก์ชันหรือไม่ ตัวอย่างที่ 4 จงพิจารณาจากกราฟของ r = { (x,y) | y = 2 } ว่า r เป็นฟังก์ชันหรือไม่ ตัวอย่างที่ 5 จากกราฟของ r = { (x,y) | y2 = x } จงพิจารณาว่า r เป็นฟังก์ชันหรือไม่ สำหรับความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นฟังก์ชัน เราสามารถหาสับเซตของความสัมพันธ์นั้นที่เป็นฟังก์ชันได้ เช่น จากความสัมพันธ์ r = { (x,y) | y2 = x } สามารถหาสับเซตของ r ที่เป็นฟังก์ชันได้ เช่น r1 = { (x,y) | y = } r2 = { (x,y) | y = - } จากรูป ถ้าลากเส้นขนานกับแกน Y ให้ตัดกราฟแล้ว เส้นขนานกับแกน Y จะตัดกราฟของ r1 และ r2 เพียงจุดเดียวเท่านั้น ดังนั้น r1 และ r2 เป็นฟังก์ชัน ในกรณีที่ความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันเรียกโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นั้นว่า โดเมนและเรนจ์ของ ฟังก์ชันตามลำดับ พิจารณาโดเมนและเรนจ์ของฟังกชันที่ได้จากการจับคู่ระหว่างสมาชิกของเซต A และเซต B ดัง ตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 6 ตัวอย่างที่ 7 ตัวอย่างที่ 8 ตัวอย่างที่ 9     จากตัวอย่างที่ 6, 7, 8 และ 9 จะเห็นว่าโดเมนของฟังก์ชันคือ A และเรนจ์ของฟังก์ชันเป็นสับเซตของ B ฟังก์ชันในตัวอย่างดังกล่าวนี้เรียกว่า ฟังก์ชันจาก A ไป B ( function from A into B ) โดยทั่วไปเมื่อกล่าวว่า f เป็นฟังก์ชัน จะหมายถึงฟังก์ชันจากสับเซตของ R ไป R จากตัวอย่างที่ 7 และ 9 จะเห็นว่า โดเมนของฟังก์ชันคือ A และ เรนจ์ของฟังก์ชันคือ B เรียกฟังก์ชันที่มีสมบัติเช่นนี้ว่า ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ( function from A onto B ) จากตัวอย่างที่ 8 และ 9 จะเห็นว่าสมาชิกแต่ละตัวของ B ที่ถูกจับคู่ จะถูกจับคู่โดยสมาชิกของ A เพียง ตัวเดียวเท่านั้น เรียกฟังก์ชันที่มีสมบัติเช่นนี้ว่า ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (one-to-one function) จากบทนิยามของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งข้างต้นจะได้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งก็ต่อเมื่อ ถ้า (x1,y)  f และ (x2,y)  f แล้ว x1 = x2 f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B (one-to-one function from A onto B หรือ one-to-one correspondence) เขียนแทนด้วย หมายถึงฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่มี Df = A และ Rf = B การพิจารณาว่าฟังก์ชันใดจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่อาจพิจารณาได้จากกราฟของฟังก์ชันนั้น โดยลากเส้นขนานกับแกน X      ถ้าไม่มีเส้นขนานกับแกน X เส้นใด ตัดกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้มากกว่าหนึ่งจุด ฟังก์ชัน นั้นจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง     แต่ถ้ามีเส้นขนานกับแกน X แม้เพียงเส้นเดียว ตัดกราฟมากกว่าหนึ่งจุดแล้วฟังก์ชันนั้นจะ ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ตัวอย่างที่ 10 จงพิจารณาจากกราฟว่า ฟังก์ชัน f = { (x,y) | y = } เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่ ตัวอย่างที่ 11 จงพิจารณาจากฟังก์ชันต่อไปนี้ว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันหนึ่ง ต่อหนึ่ง f = { (x,y) | y = x2 } เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่ การพิจารณาว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่ อาจจะพิจารณา โดยปรับบทนิยามให้สะดวก ต่อการพิจารณาดังนี้